La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación
en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.
La serie de Taylor proporciona una buena
forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de
la función y sus derivadas en otro punto.
Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar
unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error
conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número
de términos que ha de incluir la aproximación.
Pueden resolver por aproximación funciones
trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...
La serie de Taylor se basa en ir haciendo
operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la
serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la
siguiente:
o expresado de otra forma
Donde n! es
el factorial de n
F(n) es la enésima derivada de f en el punto a
Como se puede observar en la ecuación, hay
una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) n por lo que para simplificar el asunto
se igualara a "a" siempre a 0.
Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un
intervalo que contiene a a y
a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:
Para otras funciones continuas diferenciables, como las
exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un
número finito de términos.
El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito
de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución
verdadera para propósitos prácticos.
¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?
La ecuación para el término residual se puede expresar como:
Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede
ver como se ira llenando la serie mientras más elementos se le agreguen para
que el resultado sea más preciso.
Todo esto fue para ver cómo es la serie de la función e, ahora para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por ejemplo
Todo esto fue para ver cómo es la serie de la función e, ahora para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por ejemplo
Función Logaritmo natural
para todo |x| < 1
y cualquier complejo
Función Seno
En el caso de la función seno el
procedimiento que se sigue es el mismo.
Primero se deriva varias veces la funcion y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada:
Primero se deriva varias veces la funcion y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada:
Aquí si se puede observar como comienza a ser repetitivo después
de la tercera derivada.
Para todo x
Ahora se puede formar la serie de Taylor observando el patrón:
Por lo tanto se puede hacer una serie para todos los casos
Función coseno.
Después se va llenando la serie de Taylor para después hacer una ecuación
general:
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Por último se desarrolla la ecuación general para cualquier caso:
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