1.1 TIPOS DE ERRORES

Error de Propagación:

Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.

Si u es cercana a ũ y f(u) es continua y diferenciable:

Estabilidad y Condición:

La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada.

Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico.

Usando la serie de Taylor de primer orden:

Estimando el error relativo de f(x) como en:

El error relativo de x está dado por:

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos:

Número Condicionado:

El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x es aumentada por f(x):

·Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al valor relativo de x.

·Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado.

·Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está disminuyendo.

Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados.

El error numérico total es la suma de los errores numéricos de truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores de redondeo es incrementar el número de cifras significativas de la computadora.

El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de redondeo aumentan.

No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico para todos los problemas. La estimación se basa en la experiencia y buen juicio del ingeniero.

·Evitar la resta de dos números casi iguales reordenando o reformulando el problema.

·Aritmética de precisión extendida.

·Clasificarlos y trabajar primero con los números más pequeños.

Para predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie de Taylor.

Por último, se deben repetir los experimentos numéricos modificando el tamaño de paso y comparando los resultados.

A continuación se mostrará algunos ejemplos usando las serie de Taylor con las funciones e, seno y coseno.

Historia

El campo del análisis numérico es anterior a la invención de las computadoras modernas, por muchos siglos. La interpolación lineal ya estaba en uso hace más de 2000 años. Muchos de los grandes matemáticos del pasado estaban preocupados por el análisis numérico, como es obvio a partir de los nombres de los algoritmos importantes, como el método de Newton, Lagrange interpolación polinómica, la eliminación gaussiana, o el método de Euler.

Para facilitar los cálculos a mano, grandes libros fueron producidos con fórmulas y tablas de datos, tales como puntos de apoyo y los coeficientes de la función. El uso de estas tablas, a menudo calculó a 16 decimales o más para algunas funciones, se podría buscar valores para conectar a las fórmulas dadas y lograr muy buenas estimaciones numéricas de algunas funciones. El trabajo canónica en el campo es la publicación NIST editado por Abramowitz y Stegun, un libro página 1000 de más de un número muy grande de fórmulas y funciones y sus valores en muchos puntos de uso común. Los valores de la función ya no son muy útiles cuando un equipo está disponible, pero la gran lista de fórmulas todavía puede ser muy útil.

La calculadora mecánica también fue desarrollada como una herramienta para el cálculo de la mano. Estos cálculos se desarrollaron en equipos electrónicos en la década de 1940, y se descubrió entonces que estos equipos también eran útiles para fines administrativos. Sin embargo, la invención de la computadora también influyó en el campo del análisis numérico, ya que ahora más largo y más complicados cálculos se podrían hacer.

El análisis numérico es el estudio de los algoritmos que utilizan aproximación numérica para los problemas de análisis matemático.

Uno de los escritos matemáticos más tempranos es una tableta de Babilonia de la Colección Babilónica Yale, lo que da una aproximación numérica sexagesimal de, la longitud de la diagonal en un cuadrado de la unidad. Ser capaz de calcular los lados de un triángulo es extremadamente importante, por ejemplo, en la carpintería y la construcción.

Análisis numérico continúa esta

larga tradición de cálculos matemáticos prácticos. Al igual que la aproximación de Babilonia, análisis numérico moderno no busca respuestas exactas, ya que las respuestas exactas a menudo son imposibles de obtener en la práctica. En cambio, gran parte del análisis numérico se refiere a la obtención de soluciones aproximadas manteniendo límites razonables sobre los errores.

Análisis numérico naturalmente encuentra aplicaciones en todos los campos de la ingeniería y las ciencias físicas, pero en el siglo 21, las ciencias de la vida e incluso las artes han adoptado elementos de cálculos científicos. Ecuaciones diferenciales ordinarias aparecen en la mecánica celeste, el álgebra lineal numérica es importante para el análisis de datos, ecuaciones diferenciales estocásticas y cadenas de Markov son esenciales en la simulación de las células vivas para la medicina y la biología.

Antes de la llegada de los ordenadores modernos métodos numéricos a menudo dependía de la interpolación de la mano en los cuadros impresos de gran tamaño. Desde mediados del siglo 20, los ordenadores calculan las funciones requeridas en su lugar. Estas mismas fórmulas de interpolación sin embargo, siguen siendo utilizadas como parte de los algoritmos de software para la solución de ecuaciones diferenciales.

Desde finales del siglo XX, la mayoría de los algoritmos se implementan en una variedad de lenguajes de programación. El repositorio Netlib contiene varias colecciones de rutinas de software para problemas numéricos, principalmente en Fortran y C. Los productos comerciales de aplicación diferentes algoritmos numéricos incluir IMSL y bibliotecas NAG, una alternativa gratuita es la Biblioteca científica GNU.

Hay varias aplicaciones de cálculo numérico populares, tales como MATLAB, S-PLUS, LabVIEW y IDL, así como alternativas de código libre y abierto como FreeMat, Scilab, GNU Octave, IT + +, R y ciertas variantes de Python. El rendimiento varía ampliamente: mientras que las operaciones vectoriales y matriciales son generalmente rápido, bucles escalares pueden variar en velocidad por más de un orden de magnitud.

Muchos sistemas de álgebra computacional como Mathematica también se benefician de la disponibilidad de aritmética de precisión arbitraria que puede proporcionar resultados más precisos.

También, cualquier software de hoja de cálculo se puede utilizar para resolver problemas sencillos relacionados con el análisis numérico

 

Temario

INTRODUCCION

I.- ANÁLISIS DE ERRORES Y GRAFICACIÓN.

1.1 Tipos de errores

1.1.2 Series de Taylor y Mc Laurin

1.1.3 Exactitud y Precisión

1.1.4 Error Absoluto y Relativo

1.1.5 Números de punto flotante en 32 y 64 bits

1.2 GRAFICACIÓN

1.2.1 Graficado xy

II.- RAÍCES DE ECUACIONES

2.1.1 Teorema fundamental del Álgebra

2.1.2 Regla de los signos de Descartes

2.2 MÉTODOS PARA ENCONTRAR RAÍCES REALES

2.2.1 Bisección

2.2.2 Punto Fijo (Regla Falsa)

2.2.3 Newton – Raphson (Secante)

2.2.4 Método para Raíces Complejas

III.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

3.1.1 Sistema de Ecuaciones Lineales

3.1.2 Método de Gauss

3.1. 3Método de Gauss Jordan (Matriz Inversa)

3.1.4 Método LU y Choleski

3.1.5 Método de Gauss Seidel

IV.- INTERPOLACIÓN.

4.1 Mínimos Cuadrados

4.2 Método de Lagrange

4.3 Método de Interpolación de Newton

 

V.- DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICAS.

5.1.1 Diferenciación Numérica

5.1.2 Método de diferencias hacia delante

5.1.3 Método de diferencias central

5.2 INTEGRACIÓN NUMÉRICA

 

5.2.1 Método del Trapecio

5.2.2 Método de Romberg

5.2.3 Métodos de Simpson

5.2.4 Cuadratura de Gauss

VI.- ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS.

6.1 Método de Euler

6.2 Método de Runge Kutta

6.3 Resolución de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden

CONCLUSIÓN

BIBLIOGRAFIA

Presentación

INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL

ESCUELA SUPERIOR DE INGENIERA

MECANICA Y ELECTRICA

UNIDAD CULHUACAN

TRABAJO: PROYECTO FINAL

MATERIA: ANALISIS NUMERICO

PROFE: JUAN ANGEL RODRIGUEZ GOMEZ

GRUPO: 4CM1

INTEGRANTES:

CHAVEZ LOPEZ LORENA

CRUZ BAZAN MIGUEL

VITT WILLY LUIS

En esta pagina, se va a encontrar en cada tema una breve explicación de lo que es el tema, así como resolverlo de forma fácil y práctica, además de eso se encontraran con programas para poder tener un mejor conocimiento del mismo, en algunos casos con la ayuda del programa se puede llegar a una mejor comprensión del mismo.

El objetivo principal de este texto es construir y explorar algoritmos para resolver problemas científicos y de ingeniería. Otra de sus misiones es ayudar al lector a localizar estos algoritmos en un escenario de principios poderosos y de gran alcance.

Definición de Análisis Numérico

El análisis numérico es una rama de  las matemáticas  que, mediante el uso de algoritmos iterativos, obtienes soluciones numéricas a problemas en los cuales la matemática simbólica (o analítica) resulta poco eficiente y en consecuencia no puede ofrecer una solución. En particular estos algoritmos se les denominan métodos numéricos.

Por lo general  los métodos numéricos  se componen de un número de pasos finitos que se ejecutan de manera lógica, mejorando aproximaciones iniciales a cierta cantidad, tal como la raíz de una ecuación, hasta que se cumpla cierta cota de error. A esta operación crítica de mejora de valor se le conoce como iteración.

Muchas de las aplicaciones más recientes de análisis numérico se esfuerzan en generar datos de una manera más corta o comprimida. Por último, la ortogonalidad es crucial para la eficacia en muchos algoritmos y es insustituible cuando el condicionamiento constituye un problema o la compresión es un objetivo.