Error de Propagación:
Supóngase que se tiene una función f(u). Considere que ũ es una aproximación de u (ũ = u+h, con h tamaño de paso). Por lo tanto, se podría
evaluar el efecto de la discrepancia entre u y ũ en el valor de la función.
Si u es
cercana a ũ y f(u)
es continua y diferenciable:
Estabilidad y Condición:
La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad
los cambios en los datos de entrada.
Un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los
valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico.
Usando la serie de Taylor de primer orden:
Estimando el error relativo de f(x) como en:
El error relativo de x está
dado por:
Un número condicionado puede definirse como la razón de estos
errores relativos:
Número Condicionado:
El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto
la incertidumbre de x es
aumentada por f(x):
·Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es
idéntico al valor relativo de x.
·Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es
amplificado.
·Un valor menor que 1 nos indica que el error relativo está
disminuyendo.
Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal
condicionados.
El error numérico total es la suma de los errores numéricos de
truncamiento y redondeo. Un camino para minimizar los errores de redondeo es
incrementar el número de cifras significativas de la computadora.
El error de truncamiento puede reducirse con un tamaño de paso más
pequeño. Los errores de truncamiento pueden ser disminuidos cuando los de
redondeo aumentan.
No hay forma sistemática y general para evaluar el error numérico
para todos los problemas. La estimación se basa en la experiencia y buen juicio
del ingeniero.
·Evitar la resta de dos números casi iguales reordenando o
reformulando el problema.
·Aritmética de precisión extendida.
·Clasificarlos y trabajar primero con los números más pequeños.
Para predecir el error numérico un buen camino es emplear la Serie
de Taylor.
Por último, se deben repetir los experimentos numéricos
modificando el tamaño de paso y comparando los resultados.
A continuación se mostrará algunos ejemplos usando las serie de
Taylor con las funciones e, seno y coseno.
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