2.3.1 BISECCIÓN.

Método de bisección

Entre los métodos de 2 puntos para encontrar raíces de funciones tenemos a este método, la forma en que deberá de tenerse la función es f(x)=0.

Este es un método iterativo, y busca una solución aproximada,  este método es bueno porque permite aproximar soluciones en relativamente pocas iteraciones. Para poder usar este método se debe considerar una función continua en el intervalo a usar y que cruce el eje de las x. Dicho en otras palabras que tenga solución

El método a nivel general se describe a continuación.

1.Solicitar la función en la forma f(x)=0

2.Solicitar el error máximo deseado de la función evaluada f(x), que de aquí en adelante se abreviará como error.

3.                 Determinar un intervalo donde se buscará la raíz, esto se hace analizando la función y apoyándonos del teorema del Bolzano. Dicho en otras palabras buscaremos una (x izquierda) y una (x derecha). Como se aprecia en la siguiente gráfica:

4.Se calcula el numero de iteraciones que llamaremos, esto se hará mediante la siguiente formula: seguramente el  será un numero con decimales, pero nosotros redondearemos al entero próximo, así por ejemplo si sale 9.5644 se tomará el valor de 10.

5.Se repetirá el siguiente ciclo  veces o hasta que el 

a.Se determina un punto medio entre ambas x , a este punto le denominaremos _. Este se calculará así 

b.Se evalúa este punto en la función 

c.Se calcula el valor absoluto de dicha función y se verifica si ya es menor que el error: . Si esto sucede el proceso se detiene y se presenta el valor de , como raíz de la función, en caso contrario se procede con el siguiente paso.

d.Si  < 0 entonces el nuevo valor
de  será  o dicho de otra forma 
=, en caso contrario el nuevo valor de será o dicho de otra forma =_,y con esto tendremos un nuevo segmento de trabajo.

2.3 MÉTODOS PARA ENCONTRAR RAÍCES REALES

Existen diversos métodos para poder encontrar raíces reales en una función,  aquí se mostrara una lista de ellos, solo se mostrara con pocos detalles cada método, más adelante se hablara con más detalle cada método.

2.2 REGLA DE LOS SIGNOS DE DESCARTES.

Regla de signos de Descartes

Dice: El Número de Raíces Positivas es Igual al Número de Variaciones   ( J ) de f(x) ó es menor que este Número en un  número Par.

Dice: El Número de Raíces Negativas es Igual al Número de Variaciones de f(-x) ó es menor que este Número en un Número Par.

Por ejemplo:

+	-	i
3	2	0
1	2	2
3	0	2
1	0	4

La Regla de los Signos de Descartes nos dice de acuerdo con la Tabla anterior que la Ecuación tiene por lo menos 1 Raíz Positiva y Máximo 3,y que ó tiene 2 Raíces Negativas ó no tiene ninguna.

2.1 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raíces^[1] como su grado, dado que las raíces se cuentan con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

• El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.
• Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: todo polinomio en una variable con coeficientes complejos de grado al menos uno tiene al menos una raíz compleja. Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema en análisis que en álgebra.

1.6.1 GRAFICADOR XY.

En el modo gráfico existe una enorme cantidad de funciones que realizan desde la tarea más sencilla como es pintar un píxel, hasta la tarea más compleja como pudiera ser dibujar un carácter por medio de trazos.

Para trabajar el modo gráfico es necesario incluir la librería graphics.h como hacer uso de la BGI (Borlan Graphics Interphase)

Para usar cualquier función es necesario colocar el adaptador de video en modo grafico y esto se logra a través de la función initgraph(); y al terminares necesario regresar al modo original a través de la función closegraph();

Para iniciar un programa en ambiente gráfico es recomendable correr una subrutina de inicialización de gráficos y detección de errores.

Algunos ejemplos de las funciones que se pueden encontrar en la librería de gráphics.h son:

Line(); circle(); arc(); elipse();rectangle(); ottextxy(); putpixel();

Para saber mas de las funciones de la librería de gráficos lo pueden buscar en el índice de turbo c.

1.6 GRAFICACIÓN

Cada una de las ecuaciones que forman un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es la de una función de primer grado, es decir, una recta. El método gráfico para resolver este tipo de sistemas consiste, por tanto, en representar en unos ejes cartesianos, o sistema de coordenadas, ambas rectas y comprobar si se cortan y, si es así, dónde. 

Si las dos rectas se cortan en un punto, las coordenadas de éste son el par (x, y) que conforman la única solución del sistema, ya que son los únicos valores de ambas incógnitas que satisfacen las dos ecuaciones del sistema, por lo tanto, el mismo es compatible determinado.

Si las dos rectas son paralelas, no tienen ningún punto en común, por lo que no hay ningún par de números que representen a un punto que esté en ambas rectas, es decir, que satisfaga las dos ecuaciones del sistema a la vez, por lo que éste será incompatible, o sea sin solución. 

Por último, si ambas rectas son coincidentes, hay infinitos puntos que pertenecen a ambas, lo cual nos indica que hay infinitas soluciones del sistema (todos los puntos de las rectas), luego éste será compatible indeterminado.

El proceso de resolución de un sistema de ecuaciones  se resume en las siguientes fases:

Se despeja la incógnita y en ambas ecuaciones. 

Se construye, para cada una de las dos funciones de primer grado obtenidas, la tabla de valores correspondientes. 

Se representan gráficamente ambas rectas en los ejes coordenados. 

Ejemplo:

Entre Ana y Sergio tienen 600 pesos, pero Sergio tiene el doble de  que Ana. ¿Cuánto dinero tiene cada uno?.

Llamemos x al número de pesos de Ana e y al de Sergio. Vamos a expresar las condiciones del problema mediante ecuaciones: Si los dos tienen 600 pesos, esto nos proporciona la ecuación x + y = 600. Si Sergio tiene el doble de euros que Ana, tendremos que y = 2x. Ambas ecuaciones juntas forman el siguiente sistema:

x + y = 600 

2x - y = 0 

Para resolver el sistema por el método gráfico despejamos la incógnita y en ambas ecuaciones y tendremos:

y = -x + 600

 y = 2x 

Vamos ahora, para poder representar ambas rectas, a calcular sus tablas de valores:

y = -x + 600		y = 2x
x	y	x	y
200	400	100	200
600	0	200	400

Con estas tablas de valores para las dos rectas y eligiendo las escalas apropiadas en los ejes OX y OY, podemos ya representar gráficamente:

Si observamos la gráfica, vemos claramente que las dos rectas se cortan en el punto (200, 400), luego la solución del sistema es x = 200 e y = 400. Por tanto, la respuesta al problema planteado es que Ana tiene 200 pesos y Sergio tiene 400 pesos.

1.5 NÚMEROS DE PUNTO FLOTANTE EN 32 Y 64 BITS.

El estándar de la IEEE para aritmética en coma flotante (IEEE 754) es el estándar más extendido para las computaciones en coma flotante, y es seguido por muchas de las mejoras de CPU y FPU. El estándar define formatos para la representación de números en coma flotante (incluyendo el cero) y valores des normalizados, así como valores especiales como infinito y NaN, con un conjunto de operaciones en coma flotante que trabaja sobre estos valores. También especifica cuatro modos de redondeo y cinco excepciones (incluyendo cuándo ocurren dichas excepciones y qué sucede en esos momentos).

IEEE 754 especifica cuatro formatos para la representación de valores en coma flotante: precisión simple (32 bits), precisión doble (64 bits), precisión simple extendida (≥ 43 bits, no usada normalmente) y precisión doble extendida (≥ 79 bits, usualmente implementada con 80 bits). Sólo los valores de 32 bits son requeridos por el estándar, los otros son opcionales. Muchos lenguajes especifican qué formatos y aritmética de la IEEE implementan, a pesar de que a veces son opcionales. Por ejemplo, el lenguaje de programación C, ahora permite pero no requiere la aritmética de la IEEE (el tipo de C float es típicamente usado para la precisión simple de la IEEE y el tipo double usa la precisión doble del la IEEE).

El título completo del estándar es IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic (ANSI/IEEE Std 754-1985), y también es conocido por IEC 60559:1989, Binary floating-point arithmetic for microprocessor systems (originalmente el número de referencia era IEC 559:1989)

Precisión simple 32-bits

Un número en coma flotante de precisión simple se almacena en una palabra de 32 bits.

  1    8               23            <-- tamaño en bits

 +-+--------+-----------------------+

 |S|  Exp   |  Significante         |

 +-+--------+-----------------------+

 31 30    23 22                    0   <-- índice del bit (0 a la derecha)

    Desplazado +127

Donde S es el bit de signo y Exp es el campo exponente. (Para el signo: 0=Positivo; 1= Negativo).

El exponente es desplazado en el un número en precisión simple, un exponente en el rango −126 a +127 es desplazado mediante la suma de 127 para obtener un valor en el rango 1 a 254 (0 y 255 tienen valores especiales descritos más adelante). Cuando se interpreta el valor en coma flotante, el número es desplazado de nuevo para obtener el exponente real.

El conjunto de valores posibles pueden ser divididos en los siguientes:

• ceros
• números normalizados
• números des normalizados
• infinitos
• NaN (¬E, no es un número, como por ejemplo, la raíz cuadrada de un número negativo)

Las clases se distinguen principalmente por el valor del campo Exp, siendo modificada ésta por el campo fracción. Considera Exp y Fracción como campos de números binarios sin signo (Exp se encuentra en el rango 0–255):

Clase	Exp	Fracción
Ceros	0	0
Números des normalizados	0	distinto de 0
Números normalizados	1-254	cualquiera
Infinitos	255	0
NaN (Not a Number)	255	distinto de 0

Para números normalizados, los más comunes, Exp es el exponente desplazado y Fracción es la parte fraccional del significante (o significando). El número tiene valor v:

v = s × 2^e × m

Donde

s = +1 (números positivos) cuando S es 0

s = −1 (números negativos) cuando S es 1

e = Exp − 127 (en otras palabras, al exponente se le suma 127 y se almacena, a esto también se le llama "biased with 127" en inglés)

m = 1, Fracción en binario (esto es, el significando es el número binario 1 seguido por la coma decimal seguido por los bits de Fracción). Por lo tanto, 1 ≤ m < 2.

Notas:

1.Los números des normalizados son iguales excepto que e = −126 y m = 0, Fracción. (e NO es -127 : el significando ha de ser desplazado a la derecha por un bit más, de forma que incluya el bit principal, que no siempre es 1 en este caso. Esto se balancea incrementando el exponente a -126 para el cálculo.)

2.−126 es el menor exponente para un número des normalizado

3.Hay dos ceros. +0 (S es 0) y −0 (S es 1)

4.Hay dos infinitos +∞ (S es 0) y −∞ (S es 1)

5.Los NaN s pueden tener un signo y un significando, pero estos no tienen otro significado que el que puedan aportar en pruebas de diagnóstico; el primer bit del significando es a menudo utilizado para distinguir NaN s señalizados de NaN s silenciosos

6.los NaNs y los infinitos tienen todos los bits a 1 en el campo Exp.

1.4 ERROR ABSOLUTO Y RELATIVO

Bien sea una medida directa (la que da el aparato) o indirecta (utilizando una fórmula) existe un tratamiento de los errores de medida. Podemos distinguir dos tipos de errores que se utilizan en los cálculos:

·Error absoluto. Es la diferencia entre el valor de la medida y el valor tomado como exacto. Puede ser positivo o negativo, según si la medida es superior al valor real o inferior (la resta sale positiva o negativa). Tiene unidades, las mismas que las de la medida.

·Error relativo. Es el cociente (la división) entre el error absoluto y el valor exacto. Si se multiplica por 100 se obtiene el tanto por ciento (%) de error. Al igual que el error absoluto puede ser positivo o negativo (según lo sea el error absoluto) porque puede ser por exceso o por defecto. no tiene unidades.

Teorema fundamental del álgebra

El teorema fundamental del álgebra establece que un polinomio en una variable, no constante y a coeficientes complejos, tiene tantas raíces^[1] como su grado, dado que las raíces se cuentan con sus multiplicidades. En otras palabras, dado un polinomio complejo p de grado n > 0, la ecuación p(z) = 0 tiene exactamente n soluciones complejas, contando multiplicidades. De manera equivalente:

·El cuerpo de los complejos es cerrado para las operaciones algebraicas.

·Todo polinomio complejo de grado n se puede expresar como un producto de n polinomios de la forma

 .

El teorema se establece comúnmente de la siguiente manera: todo polinomio en una variable con coeficientes complejos de grado al menos uno tiene al menos una raíz compleja. Aunque ésta en principio parece ser una declaración más débil, implica fácilmente la forma completa por la división polinómica sucesiva por factores lineales.

El nombre del teorema es considerado ahora un error por muchos matemáticos, puesto que es más un teorema en análisis que en álgebra.

1.3 EXACTITUD Y PRECISIÓN

Son términos  que de manera frecuente se utilizan en el lenguaje coloquial como cosas semejantes, inclusive como sinónimos. Sin embargo veremos que esto no es del todo aceptado en áreas de ciencias e ingeniería reconociendo que hay diferencias muy marcadas entre estas.

Exactitud.

La exactitud es lo cerca que el resultado de una medición está del valor verdadero.

Precisión.

La precisión es lo cerca que los valores medidos están unos de otros.

Ejemplos de exactitud y precisión:

Exactitud baja Precisión alta	Exactitud alta Precisión baja	Exactitud alta Precisión alta

Así que si estás jugando al fútbol y siempre le das al poste izquierdo en lugar de marcar gol, ¡entonces no eres exacto, pero eres preciso!

1.2 SERIE DE TAYLOR

La serie de Taylor es una serie funcional y surge de una ecuación en la cual se puede encontrar una solución aproximada a una función.

La serie de Taylor proporciona una buena forma de aproximar el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto.

Por supuesto, para hacer esta aproximación sólo se pueden tomar unas cuantas expresiones de esta serie, por lo que el resto resulta en un error conocido como el término residual, es a criterio del que aplica la serie en número de términos que ha de incluir la aproximación.

Pueden resolver por aproximación funciones trigonométricas, exponenciales, logarítmicas etc...

La serie de Taylor se basa en ir haciendo operaciones según una ecuación general y mientras más operaciones tenga la serie más exacto será el resultado que se está buscando. Dicha ecuación es la siguiente:

o expresado de otra forma

Donde n! es el factorial de n

F⁽ⁿ⁾ es la enésima derivada de f en el punto a

Como se puede observar en la ecuación, hay una parte en la cual hay que desarrollar un binomio (x-a) ⁿ por lo que para simplificar el asunto se igualara a "a" siempre a 0.

Teorema de Taylor: Si la función f y sus primeras n+1 derivadas son continuas en un intervalo que contiene a a y a x, entonces el valor de la función en un punto x está dado por:

Para otras funciones continuas diferenciables, como las exponenciales o sinusoidales, no se obtiene una estimación exacta mediante un número finito de términos.

El valor práctico de las series de Taylor radica en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera para propósitos prácticos.

¿Cuántos términos se requieren para obtener una “aproximación razonable”?

La ecuación para el término residual se puede expresar como:

Con las primeras operaciones que se hicieron al principio se puede ver como se ira llenando la serie mientras más elementos se le agreguen para que el resultado sea más preciso.

Todo esto fue para ver cómo es la serie de la función e, ahora para conocer algún resultado simplemente se sustituye en donde quedaron las x y ya esta, por ejemplo

Función Logaritmo natural

para todo |x| < 1 y cualquier complejo

Función Seno

En el caso de la función seno el procedimiento que se sigue es el mismo.
Primero se deriva varias veces la funcion y se sustituye "a" o sea 0 en cada derivada:

Aquí si se puede observar como comienza a ser repetitivo después de la tercera derivada.

Para todo x

Ahora se puede formar la serie de Taylor observando el patrón:

Por lo tanto se puede hacer una serie para todos los casos

Función coseno.

Después se va llenando la serie de Taylor para después hacer una ecuación general:

Por último se desarrolla la ecuación general para cualquier caso: